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五、第一大奥义：叠加 “比特”是计算机科学的基本概念，指的是一个体系有且仅有两个可能的状态，一般用“0”和“1”来表示。典型的例子，如硬币的正、反两个面或者开关的开、关两个状态。 但在量子力学中，情况出现了本质的不同。量子力学有一条基本原理叫做“叠加原理”：如果两个状态是一个体系允许出现的状态，那么它们的任意线性叠加也是这个体系允许出现的状态。 现在问题来了，什么叫做“状态的线性叠加”？为了说清楚这一点，最方便的办法是用一种数学符号表示量子力学中的状态，就是在一头竖直一头尖的括号“|>”中填一些表示状态特征的字符。这种符号是英国物理学家狄拉克发明的，称为“狄拉克符号”。 在量子信息中，经常把两个基本状态写成|0>和|1>。而|0>和|1>的线性叠加，就是a|0> + b|1>，其中a和b是两个数。“线性”意味着用一个数乘以一个状态，“叠加”意味着两个状态相加，所以“线性叠加”就是把两个状态各自乘以一个数后再加起来。 叠加原理说的是：如果一个体系能够处于|0>和处于|1>，那么它也能处于任何一个a|0> + b|1>，这样的状态称为“叠加态”。这里a和b可以取任何数，对它们唯一的限制，就是它们的绝对值的平方和等于1，即|a|2+ |b|2= 1。 叠加原理乍看起来完全和常识相反。假如用|0>代表你在北京喝茶，|1>代表你在巴黎喝茶，那么(|0> + |1>)/√2就意味着你同时在北京与巴黎喝茶！这种状态怎么可能存在呢？ 但量子力学的一切实验结果都表明，叠加原理是正确的，是一条必不可少的基本原理，至少在微观世界中是如此。一个电子确实可以“同时位于两个地方”（这句话实际的意思，要到下一节讲“测量”时才能完全明白）。至于宏观世界里为什么没见过一个人同时位于两处，那是另一个深奥的问题，我们在本文中不做进一步的讨论。 量子力学中的“叠加” 在叠加原理的框架下，经典的比特变成了“量子比特”。也就是说，这个体系的状态不是只能取“0”或取“1”了，而是可以取任意的a|0> + b|1>状态，例如(|0> + |1>)/√2、(|0> - |1>)/√2、(|0> + √3|1>)/2、(√3|0> - |1>)/2等等。从两个选择到无穷多个选择，这是个巨大的扩展。显然，一个量子比特包含比一个经典比特大得多的信息量。 为了更方便地理解这个概念，我们可以把一个量子力学的状态理解成一个矢量（请回忆高中数学，矢量就是既有大小也有方向的量，例如牛顿力学中的力、速度、位移都是矢量）。实际上，狄拉克符号|>正是为了让人联想到矢量而设计的。以后我们就把表示量子力学状态的矢量称为“态矢量”。 我们可以认为，所有的a|0> + b|1>态矢量都属于同一个平面。而在这个平面上，|0>和|1>定义了两个方向，相当于xy两个坐标轴上的单位矢量。在|a|2+ |b|2= 1的条件下，a|0> + b|1>就是从原点到半径为1的单位圆上一点的矢量。看清楚这个几何图象，我们立刻就明白，单位圆上任何一点的地位都是相同的，没有一个态比其他态更特殊，可谓“众生平等”。 回忆一下高中学的解析几何。在那里我们首先要画出坐标系，确定两个坐标轴的方向，但具体的选择完全是随意的。任何两个方向都可以作为x轴和y轴，只要它们互相垂直。无论你怎么选择坐标轴，最终的计算结果都不会变（当然，计算过程的繁简程度可能不同）。在这里也是一样，你选择哪两个矢量作为|0>和|1>都可以，唯一的要求就是它们互相垂直。 叠加原理和基组 我们可以定义两个状态|+> = (|0> + |1>)/√2和|-> = (|0> - |1>)/√2，从图中可以看出，它们相当于把|1>和|0>向左旋转45度。如果把|+>和|->当作基本状态，用它们的线性叠加来表示单位圆上所有的状态，同样是可行的，——这就相当于把坐标系向左旋转了45度。在这个新的坐标系下，|0> = (|+> + |->)/√2，|1> = (|+> - |->)/√2。 事实上，一种常见的实现量子比特的方法，就是用光子的“偏振态”。光是一种电磁波，不断地产生电场和磁场。如果电场位于某个确定的方向，我们就说这个光子是偏振的。四个状态|0>、|1>、|+>和|->，分别对应光子的偏振处于0度、90度、45度和135度。在这个体系中，上面的图就不仅是个比喻，而且直接对应实验了。 取一组矢量，如果其他所有的矢量都能表示成这组矢量的线性叠加，那么这组矢量就叫做“基组”。|0>和|1>构成一个基组，|+>和|->也构成一个基组，这样的基组有无穷多个。 根据上面的图，我们还可以做一个比喻：经典比特是“开关”，只有开和关两个状态（0和1），而量子比特是“旋钮”，就像收音机上调频的旋钮那样，有无穷多个状态（所有的a|0> + b|1>）。显然，旋钮的信息量比开关大得多。 六、第二大奥义：测量 在经典力学中，测量固然是一种重要的操作，但我们不会认为测量过程跟其他过程服从不同的物理规律。无论你看或不看某个物体，你都相信它具有某些确定的性质，如位置、速度，而且你看了以后这些性质不会变化。总之，你可以随便看。 可是在量子力学中，测量跟其他过程有本质的区别，描述测量要用与众不同的物理规律！你不能随便看了，你看或不看某个体系，会造成很大的区别。 量子力学中的测量，特殊在哪里呢？ 首先，在量子力学中，每一次测量都必须对应某个基组。两次测量可以用不同的基组，比如你可以这次用|0>和|1>，下次用|+>和|->，这是允许的，但每次你都必须确定当前用的是哪个基组。 确定了基组，然后呢？这时有两种情况，取决于待测量的态是不是基组中的一个态。如果是，那么测量后这个态不变。比如说在|0>和|1>的基组中测量|0>，必然得到|0>。 然而，如果待测量的态不是基组中的一个态，比如说在|0>和|1>的基组中测量a|0> + b|1>，其中a和b都不等于0，也就是说这个态既不是|0>也不是|1>，会怎么样？ 答案是：这个态会发生突变！也常有人把这个突变称为“塌缩”、“坍缩”或类似的词。这个突变是瞬间发生的，是一个真正意义上的突然变化。 变成什么？变成基组中的一个态，即|0>或|1>中的某一个。更具体地说，以|a|2的概率变成|0>，以|b|2的概率变成|1>。请注意，我们无法预测特定的某次测量变成|0>还是|1>，能预测的只是概率。由于只可能有这两种结果，所以这两个概率相加等于1，这就是|a|2+ |b|2= 1的原因。 上一节中说，一个电子可以“同时位于两个地方”。实际的意思就是，一个电子可以处于两个位置的叠加态，测量它的位置时，会以一定的概率发现它位于这里，以一定的概率发现它位于那里。 量子力学中的“测量” 测量导致状态突变之后，再在同样的基组下测量，就回到了第一种情况（待测的态是基组中的一个态），所以就不会变了。也就是说，如果你第一次测得的是|0>，那么以后你再在|0>和|1>的基组中测量多少次，都仍然是|0>；如果你第一次测得的是|1>，那么以后你再在|0>和|1>的基组中测量多少次，都仍然是|1>。 我们可以把测量理解为强迫叠加态“削足适履”：给你一组状态，跟你都不一样，而你必须在其中选择一个，就只好随机挑了。 八仙中铁拐李的故事，用在这里意外的合拍。铁拐李原本是一位翩翩公子，F4级别的帅哥。由于修仙有成，应邀去参加太上老君的“学术活动”。临走时，他告诉学生自己要元神出窍七天，要学生照看好自己的身体。参加完学术活动回来，却发现学生已经把自己的身体火化了。（难道是因为考试没给他过？）这时鸡马上就要叫，如果他找不到可附体的对象就要魂飞魄散。这时他发现周围有几个可附的尸体，他只得在其中随便选择一个！（原来的故事是只有一个尸体，但一个基组至少要有两个态可供选择。）不料是个拐子，于是帅哥李就变成了铁拐李。结论是：学术活动害死人……（大误） 铁拐李 测量中的突变，意味着我们对因果律的理解需要改变。举个例子，在|0>和|1>的基组中测量|+> = (|0> + |1>)/√2，会以一半的概率得到|0>，一半的概率得到|1>。概率的意思是，如果你制备很多个处于|+>的体系，把这个实验重复很多次，那么可以预测你有接近一半的次数得到|0>，接近一半的次数得到|1>。但对于单独的一次实验，你没办法做出任何预测。是的，同样的原因可以导致不同的结果！ 这种内在的随机性是量子力学的一种本质特征。在经典力学中，一切演化都是决定性的，同样的原因必然导致相同的结果，量子力学却不是这样。 有人在这里可能要问：经典力学中也有随机性，掷硬币不就是一半概率朝上，一半概率朝下吗？回答是：同样是概率，背后的原因不一样，可改进的余地也不一样。 掷硬币的结果难以预测，是因为相关的外界因素太多：硬币出手时的方位、速度、空中的气流状况等等。也就是说，经典力学中的概率反映的是信息的缺乏。你可以通过减少这些因素的干扰来增强预测能力，例如在真空中掷，消灭气流，用机器掷，固定方向和力度。最终，你可以确定地掷出某一面，或者至少使掷出某一面的机会显著超过另一面。（赌神是怎样炼成的！） 赌神 但在量子力学中，测量结果的概率是由体系本身的状态决定的，不是由于外界的干扰，不是由于缺少任何信息，因此完全无法“改进”。给你一个处于|+>的粒子，问你有什么办法保证这次在|0>和|1>的基组中测量它时得到|0>，回答只能是：没有任何办法。（卡门：爱情是一只不羁的鸟儿，任谁都无法驯服……）所以再次强调，这种随机性是内在的，是量子力学的一种本质特征！ 卡门：爱情像一只自由的小鸟 七、第三大奥义：纠缠 前面说的都只是一个量子比特的体系，已经有这么多不可思议之处。多个量子比特的体系，可想而知会更加奇怪。这就引出了“量子纠缠”现象，——你听说过这个词，对不对？ 量子纠缠在许多文章中被传得神乎其神，几乎成了心灵感应、神秘主义的代名词。但其实量子纠缠是一个有明确定义的概念，是一种被量子力学预言必然出现也早就观测到了的现象。它的物理原理很清楚，绝大部分神秘感都是被故弄玄虚的媒体强加上去的。看了下面的解释，你就明白它实际上是什么了。 我们先来看一个数学问题。拿出一个二元函数F(x, y)，你来试着把它写成一个关于x的函数f(x)与一个关于y的函数g(y)的乘积，也就是说，寻找f(x)和g(y)，使得F(x,y) = f(x) g(y)。如果可以，我们就说F(x, y)是可以“分离变量”的。如果不行，我们就说它不能分离变量。同样的定义可以推广到二元以上的函数，例如F(x, y, z) 是否可以写成f(x) g(y) u(z)，就是这个三元函数能不能分离变量。 显然，有些二元函数是可以分离变量的。例如F(x, y) = xy，你取f(x) = x和g(y) = y就可以了。（这是道送分题！）又如F(x, y)= xy + x + y + 1，仔细看看你就会发现它等于(x + 1) (y + 1)，所以取f(x) = x + 1和g(y) = y + 1即可。 然而，如果F(x, y) = xy + 1呢？这时你就会发现，无论如何也不能把它表示成f(x)g(y)。 对此可以用反证法证明如下：假设F(x, y) = f(x) g(y) ，那么对y取两个值y1和y2时，F(x, y1) = f(x)g(y1)，F(x, y2) = f(x) g(y2) 。这两个式子相除，就会把f(x) 消掉，得到F(x, y1) / F(x, y2) = g(y1) / g(y2) 。等式的右边g(y1) / g(y2) 是一个与x无关的数，因此等式的左边F(x, y1) / F(x, y2) 也必须是个与x无关的数。可是对于F(x, y) = xy + 1，设y1 = 0，得到F(x, y1) = 1，设y2= 1，得到F(x, y2) = x + 1。两者相除得到F(x, y1) / F(x, y2) = 1 / (x + 1) ，跟x有关。因此初始的假设不对，F(x, y) = xy + 1不能分离变量。 有了以上的数学准备，我们就可以解释量子纠缠是什么了。 在量子力学中，体系的状态（没错，就是前面说的态矢量）可以用一个函数来表示，称为“态函数”（是的，你既可以把它理解为一个函数，也可以把它理解为一个矢量，两者不矛盾，怎么方便怎么来）。单粒子体系的态函数是一元函数，多粒子体系的态函数是多元函数。如果这个多元函数可以分离变量，也就是可以写成多个一元函数直接的乘积，我们就把它称为“直积态”。如果它不能分离变量，我们就把它称为“纠缠态”。 直积态和纠缠态的区分为什么重要？我们举些例子来说明。 在量子力学中，我们常常用类似|00>的狄拉克符号来表示两粒子体系的状态，其中第一个符号表示粒子1所处的状态，第二个符号表示粒子2所处的状态，|00>就表示两个粒子都处于自己的|0>态。同理，|01>表示粒子1处于自己的|0>态、粒子2处于自己的|1>态，|11>表示两个粒子都处于自己的|1>态，如此等等。 这些状态都是直积态，体系整体的二元态函数就是两个粒子各自的一元态函数的乘积。对于直积态，你在测量粒子1的时候，不会影响粒子2的状态，所以你可以说“粒子1处于某某状态，粒子2处于某某状态”。这就是分离变量的结果。 下面我们来考虑这样一个状态：|β00> = (|00> + |11>)/√2，它是|00>和|11>的一个叠加态（是的，叠加原理对多粒子体系也成立）。这个态是不是直积态呢？也就是说，(|00> + |11>)/√2能不能写成(a|0> + b|1>) (c|0> + d|1>)（前一个括号中是粒子1的状态，后一个括号中是粒子2的状态）？ 你立刻就会发现，不能。假如可以的话，因为这个状态中不包含|01>，所以ad = 0，于是a和d中至少有一个等于0。但是如果a = 0，|00>就不会出现；而如果d = 0，|11>又不会出现。无论如何都自相矛盾，所以假设错误，|β00>不是直积态，而是纠缠态，不能分离变量。这就意味着，不能用“粒子1处于某某状态，粒子2处于某某状态”这样的语言来描述|β00>，你只能说这个体系整体处于|β00>状态。 真正惊人的事情，发生在对|β00>做测量的时候。你对它测量粒子1的状态，会以一半的概率使整个体系变成|00>，此时两个粒子都处于自己的|0>；以一半的概率使整个体系变成|11>，此时两个粒子都处于自己的|1>。你无法预测单次测量的结果，但你可以确定，粒子1变成什么，粒子2也就同时变成了什么。两者总是同步变化的。好比成龙的电影《双龙会》中有心灵感应的双胞胎，一个做了某个动作，另一个无论相距多远都会做同样的动作。 成龙《双龙会》 在许多科普文章中，也经常用另一个态(|01> + |10>)/√2作例子，我们可以把它记为|β01>。这个态的特点是，你对它测量粒子1的状态，会以一半的概率发现粒子1处于|0>，粒子2处于|1>，另一半概率发现粒子1处于|1>，粒子2处于|0>。你无法预测单次测量的结果，但你可以确定，粒子1变成什么，粒子2就同时变成了相反的状态。下面的漫画表现的就是这个态。 量子力学中的“纠缠” 有趣的是，纠缠这个重要的量子力学现象，是由几位反对量子力学的科学家提出的，而且其中的“带头大哥”就是爱因斯坦！ 《天龙八部》带头大哥 如前所述，爱因斯坦是量子力学早期的奠基人之一。实际上，他得诺贝尔奖不是因为提出相对论，而是因为提出光量子（即光子）理论（这是诺贝尔奖委员会做过的最搞笑的事情之一）。但随着量子力学的发展，爱因斯坦对量子力学的许多特性产生了深深的怀疑。 他认为每个粒子在测量之前都应该处于某个确定的状态，而不是等到测量之后，否则就不能叫做“物理实在”。爱因斯坦的一个经典问题是：“你是否相信，月亮只有在我们看它的时候才存在？” 1935年，爱因斯坦（Albert Einstein）、波多尔斯基（Boris Podolsky）和罗森（Nathan Rosen）提出了一个思想实验，后人用他们姓的首字母把他们三人合称为EPR。先让两个粒子处于|β00>态，这样一对粒子称为“EPR对”。把这两个粒子在空间上分开很远，可以任意的远。然后测量粒子1。如果你测得粒子1在|0>，那么你立刻就知道了粒子2现在也在|0>。 EPR问：既然两个粒子已经离得非常远了，粒子2是怎么知道粒子1发生了变化，然后发生相应的变化的？EPR认为两个粒子之间出现了“鬼魅般的超距作用”，信息传递的速度超过光速，违反了狭义相对论。所以，量子力学肯定有毛病。 这是个深邃的问题，量子力学的另一位奠基人玻尔为此跟爱因斯坦进行过激烈的辩论。玻尔的回答是：处于纠缠态的两个粒子是一个整体，绝不能把它们看作彼此独立无关的，无论它们相距有多远。当你对粒子1进行测量的时候，两者是同时发生变化的，并不是粒子1变了之后传一个信息给粒子2，粒子2再变化。所以这里没有发生信息的传递，并不违反相对论。 玻尔与爱因斯坦 仔细想一想，你就会明白EPR实验没有传输信息。如果A希望把一比特的信息“0”或“1”传给远处的B，那么双方需要事先约定好如何表示这个信息，比如说A想传“0”时就让B测得粒子2处于|0>，A想传“1”时就让B测得粒子2处于|1>。假如A能控制测量的结果，比如说这次A一定会让粒子1处于|0>，那么A同时就让粒子2处于了|0>，A确实就给B传了一个“0”。 但是，量子力学的精髓恰恰在于测量的结果是随机的，你不能控制，所以EPR实验不能这么用。A测量粒子1得到的是一个随机数，B测量粒子2得到的也是一个随机数，只不过这两个随机数必然相等而已。你想传一个比特，可是EPR对完全不听你指挥，所以你传不了任何信息。既然没传输信息，当然就不违反狭义相对论了。 在爱因斯坦和玻尔的时代，人们只能对EPR问题进行哲学辩论（这是好听的说法，说得通俗一点就是“打口水仗”），无法通过实验做出判断。1964年，贝尔（John S. Bell）指出，可以设计一种现实可行的实验，把双方的矛盾明确表现出来。对两粒子体系测量某些物理量之间的关联程度，如果按照EPR的观点，这些物理量在测量之前就有确定的值，那么这个关联必然小于等于2；而按照量子力学，这个关联等于2√2，大于2。这个“关联小于等于2”的不等式叫做贝尔不等式，而量子力学不满足贝尔不等式。 漫画：贝尔不等式 从1980年代开始，阿斯佩克特（Alain Aspect）等一系列的研究组在越来越高的精度下做了实验，结果都是在很高的置信度下违反贝尔不等式，量子力学赢了。EPR的思想实验最初是用来批驳量子力学的，结果却证实了量子力学的正确！ 类似的故事在科学史上也常有。十九世纪的时候，泊松（Simeon-Denis Poisson）主张光是粒子，菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）主张光是波动，两个阵营打得不可开交。1818年，菲涅耳计算了圆孔、圆板等形状的障碍物产生的衍射花纹。泊松指出，按照菲涅耳的理论，在不透明圆板的正后方中央会出现一个亮点。从常识来看，不应该是暗的吗？于是泊松宣称波动说推出了荒谬的结果，已经被驳倒了。 但是菲涅耳和阿拉果（Dominique F. J. Arago）立即做实验，结果显示那里真的有一个亮斑（学过光学的同学能够理解，这是因为所有到达那里的衍射光都经过同样的路程，发生同相的叠加，互相加强）。于是波动说大获全胜，粒子说被打入冷宫（1905年被爱因斯坦复活了，这就是他得诺贝尔奖的原因）。后人很有幽默意味地把这个亮点称为泊松亮斑。这正应了尼采的话：“杀不死我的，使我更强大！” EPR现象既然是一个真实的效应，而不是爱因斯坦等人以为的悖论，人们就想到利用它。现在，EPR对是量子信息中一个非常有力的工具。对此我们只能说，伟人连错误都是很有启发性的！就像《大话西游》中的名言：跑都跑得那么帅~ 《大话西游》紫霞仙子：跑都跑得那么帅，我真幸福 现在科学家们认为，纠缠是一种新的基本资源，其重要性可以和能量、信息、熵或任何其他基本的资源相比。不过目前还没有描述纠缠现象的完整的理论，人们对这种资源的理解还远不够深入。有人把纠缠比喻为“青铜时代的铁”，它可能会在下一个历史时代大放异彩。 对量子纠缠的种种误解，经常出现在各种半吊子“科普”文章或者装神弄鬼的文章中。这里来稍稍解释一下。 最经常见到的误解是：量子纠缠是个非常神奇的现象，没有人知道它的机制是什么。 实际情况是：量子纠缠的机制就是上面说的这些，叠加原理，测量时的突变，直积态和纠缠态的区别。其实量子纠缠是一个被理论预言然后确实观察到了的现象，而不是意外的实验发现，所以，科学家怎么可能不知道它的机制呢？ 如果你觉得这些不像个“机制”，那么请你想想，2 + 3 = 5的机制又是什么？我们只能说，2 + 3 = 5是自然数理论的必然推论，自然数理论就是它的机制。量子纠缠现象就是量子力学原理的必然推论，你不可能把量子力学之外的东西搞成它的机制。 经常有人脑洞大开地提议，量子纠缠的机制是，两个相距遥远的粒子在高维空间里连在一起，或者说它们的“内部距离”为零，我们平时看到的三维空间是高维空间的投影。这种说法看起来很机智，实际上没有什么用处。因为它完全是为了解释量子纠缠这一个现象而提出来的，而且只是定性解释，不能给出任何定量预测，也不能用到任何别的现象上。这只是一种语言游戏而已。 就像有的原始人看到飞机飞行觉得很神奇，造个理论说有一只大鸟的魂灵在这铁鸟里面托着它飞，在其他原始人看来好像很有道理，在内行看来却是多此一举。真要想理解飞机的原理，你就必须学空气动力学。同样，真要想理解量子纠缠的原理，你就必须学量子力学，舍此别无他途。 还有一种常见的误解，是以为任何两个粒子都会横跨整个宇宙同步变化。实际情况是，只有处于纠缠态的两个粒子才会这样。这是一个需要条件的现象，不是无条件的，而且在实验上精确制备这种条件还很不容易。 量子纠缠是一种多粒子体系的现象，而粒子越多，操纵起来当然就越困难。所以你会不时地看到这样的新闻：中国科学技术大学潘建伟团队实现了x个光子的纠缠态，刷新了以前同一研究组创造的y个光子纠缠的世界纪录。最新的x = 10，y = 8，这是2016年12月的消息。多次打破世界纪录的撑杆跳高名将布勃卡和牙买加飞人博尔特，就是这个feel！ 十光子纠缠 最大而无当的误解，是以为量子纠缠证明了某种神秘主义的哲学或宗教，大发一通包罗万象、鬼话连篇的议论。实际情况是，量子纠缠是个原理很清楚的物理现象。你要拿它来讨论哲学或宗教，至少也该先搞清楚它是什么！ 注：文章来源于网络 | 
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